Legendarna i pod wieloma względami wyjątkowa Tatra 603 ma swoje tajemnice. Projekt tego auta powstawał w pewnym sensie nielegalnie na początku lat pięćdziesiątych minionego stulecia i był okryty wielką tajemnicą. Realizowano go w biurze konstrukcyjnym Tatry w praskiej dzielnicy Smichov. Warto dodać, iż ta placówka specjalizowała się głównie w tramwajach i trolejbusach. Natomiast auto, które tam powstawało, miało być służbowa limuzyną dla prominentów ówczesnej Czechosłowacji.
Ostatecznie w 1956 roku projekt uzyskał poparcie władzy i w grudniu tego samego roku rozpoczęto jego produkcję seryjną. Pierwszy egzemplarz, który został zmontowany w wyjątkowo szybkim tempie, przekazany został w prezencie urodzinowym. Otrzymał go Antonin Zápotocký, ówczesny prezydent Czechosłowacji.
W pierwszym pełnym roku wyprodukowano 350 egzemplarzy, a w rekordowym 1960 roku przekroczono 1000 egzemplarzy.
Pierwsza Tatra 603 miała charakterystyczne trzy reflektory. Sześcioosobowe auta miało długość 5065 mm, szerokość 1910 mm i wysokość 1529 mm, przy rozstawie osi 2748 mm
. Do napędu zastosowano ośmiocylindrowy silnik chłodzony powietrzem o pojemności skokowej 2545 cm3 i mocy 95 KM, który pozwalał na rozwijanie maksymalnej prędkości 160 km/h i spalał ok. 13 l/100 km paliwa. Częścią wyposażenia standardowego było także niezależne ogrzewanie zasilane benzyną.
Za względu na umieszczenie silnika w tylnej części nadwozia, bagażnik umieszczono z przodu auta. Miał on pojemność 370 litrów, a dodatkowe 120 litrów można było wykorzystać za tylnymi siedzeniami.
Tatra 603 była uznawana za luksusowe auto. Kosztowała prawie dwa razy więcej niż elitarna Wołga GAZ 21 i trzykrotnie więcej niż Skoda Octavia Super.
Auto produkowane było przez dwadzieścia lat. W tym czasie producent dokonał kilka modernizacji. Ostatnia, trzecia seria trafiła do produkcji w 1967 roku. Miała już dwie pary przednich reflektorów, inne zderzaki, a od 1970 r. także wszystkie hamulce tarczowe.
Produkcja Tatry 603 została ukończona w 1975 roku. Łącznie wyprodukowano ponad 20 422 egz. Model ten został zastąpiony Tatrą 613.