Narodziny tego auta odbywały się w wyjątkowo trudnych warunkach. Tatra miała specjalizować się w produkcji samochodów ciężarowych i z tego względu projekt auta osobowego nie był wówczas priorytetem. Jego konstruktorzy spotykali się w Pradze, gdzie powstawało reprezentacyjne auto, które miałoby być alternatywą dla przestarzałych samochodów marki ZIŁ. Auto powstawało w głębokiej tajemnicy.
Nadwozie było dziełem artysty Františka Kardausa i zespołu konstruktorów pod kierownictwem Vladimíra Popelářa. Ośmiocylindrowy silnik chłodzony powietrzem o pojemności skokowej 2545 cm³ i mocy 95 KM (na etapie prototypu) oraz 105 KM (wersje produkcyjne) dostosował do nowego samochodu inż. Julius Mackerle. W pierwszym okresie auto miało hamulce bębnowe, które z czasem zastąpiono tarczowymi na licencji Dunlop.
Pierwszy prototyp powstał w 1955 r., a na początku następnego roku pierwsze egzemplarze wyjechały za granicę, a nieco później rozpoczęto produkcję serii testowej.
W pierwszym okresie produkcję realizowała Tatra Kopřivnice, gdzie w latach 1973-1974 produkowano rocznie 1600 aut. Łącznie powstało 20 422 egz. Tatra T603 i jej ewolucyjne wersje sprzedawane były głównie na rodzimym rynku, ale kilkadziesiąt egzemplarzy trafiło do m.in. byłego ZSRR, NRD, Bułgarii i na Węgry. Korzystali też z nich przedstawiciele Czechosłowackich ambasad.
Dzisiaj Tatra T603 należy do cenionych i poszukiwanych klasyków.